Vamos começar analisando a situação atual da divisão do capital entre os sócios. Temos que Antônio possui 4 partes, Joaquim possui 6 partes e José possui 6 partes. A soma total das partes é 4 + 6 + 6 = 16.
Agora, vamos calcular a fração do capital que cada sócio possui atualmente:
• Antônio: 4/16 = 1/4
• Joaquim: 6/16 = 3/8
• José: 6/16 = 3/8
Antônio quer igualar sua participação no capital da empresa com a dos outros sócios. Para isso, ele deve adquirir uma fração do capital de Joaquim e José.
Vamos supor que a fração do capital que Antônio adquire seja x. Então, a nova divisão do capital entre os sócios seria:
• Antônio: 1/4 + x*(3/8) + x*(3/8)
• Joaquim: 3/8 - x*(3/8)
• José: 3/8 - x*(3/8)
Note que a soma das frações do capital dos três sócios deve ser igual a 1 (ou seja, 100% do capital). Portanto, temos a seguinte equação:
1/4 + x*(3/8) + x*(3/8) + 3/8 - x*(3/8) + 3/8 - x*(3/8) = 1
Resolvendo a equação, temos:
1/4 + 3/8 - x*(3/8) = 1
Multiplicando todos os termos por 8 para eliminar as frações, obtemos:
2 + 3 - 2x = 8
Simplificando a equação, temos:
5 - 2x = 8
Agora, resolvemos para x:
-2x = 3
x = -3/2
No entanto, esse resultado não faz sentido no contexto do problema, já que Antônio não pode adquirir uma fração negativa do capital dos outros sócios. Então, devemos ter cometido um erro em nossa análise.
Vamos voltar à equação que relaciona as frações do capital dos três sócios:
1/4 + x*(3/8) + x*(3/8) + 3/8 - x*(3/8) + 3/8 - x*(3/8) = 1
Observe que, na verdade, a equação correta seria:
1/4 + x*(3/8) + x*(3/8) = 1/3
Isso porque Antônio quer que sua participação no capital seja igual à dos outros sócios, ou seja, 1/3.
Resolvendo a equação correta, temos:
1/4 + x*(3/8) + x*(3/8) = 1/3
Multiplicando todos os termos por 24 para eliminar as frações, obtemos:
6 + 9x + 9x = 8
Simplificando a equação, temos:
18x = 2
x = 1/9
Portanto, a fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é 1/9.