Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
- A
Artur, com probabilidade de 2/3
- B
João, com probabilidade de 4/9
- C
Artur, com probabilidade de 91/216
- D
João, com probabilidade de 91/216
- E
Artur, com probabilidade de 125/216
gabarito
Resolução
Para determinar as probabilidades de vitória de Artur e João, precisamos analisar as situações em que cada um vence, considerando que Artur joga com dois dados e João com um.
1. Total de Resultados Possíveis: Cada dado possui 6 faces, logo, ao lançar três dados, o número total de combinações possíveis é \(6^3 = 216\).
2. Definindo as Condições de Vitória:
- Artur vence se o maior número obtido em seus dois dados for maior do que o número obtido por João.
- João vence se o número obtido por ele for maior ou igual ao maior número obtido por Artur.
3. Cálculo das Vitórias de Artur:
- Para cada combinação de resultados dos dados de Artur, precisamos contar quantas vezes o maior número que ele obtém é maior do que o número que João obtém.
- Vamos denotar o maior número que Artur obtém como \(A\) e o número que João obtém como \(J\).
4. Contagem dos Casos:
- Para cada valor possível de \(A\) (que pode ser de 1 a 6), precisamos contar quantas combinações de resultados de Artur resultam em \(A\) como o maior.
- Para cada valor de \(A\), contamos quantos valores de \(J\) (os resultados possíveis para João) são menores que \(A\).
5. Exemplo de Cálculo:
- Se \(A = 1\): João sempre vence (0 combinações de vitória para Artur).
- Se \(A = 2\): João pode obter 1 (1 combinação de vitória para Artur).
- Se \(A = 3\): João pode obter 1 ou 2 (3 combinações de vitória para Artur).
- Se \(A = 4\): João pode obter 1, 2 ou 3 (6 combinações de vitória para Artur).
- Se \(A = 5\): João pode obter 1, 2, 3 ou 4 (10 combinações de vitória para Artur).
- Se \(A = 6\): João pode obter 1, 2, 3, 4 ou 5 (15 combinações de vitória para Artur).
6. Total de Vitórias de Artur:
- Somando as combinações de vitória:
- Portanto, Artur vence em 35 casos.
7. Cálculo da Probabilidade:
- A probabilidade de Artur vencer é dada pelo número de vitórias de Artur dividido pelo total de resultados possíveis:
\[P(A) = \frac{35}{216}\]
8. Probabilidade de Vitória de João:
- João vence em todos os outros casos, ou seja, \(216 - 35 = 181\) casos.
- A probabilidade de João vencer é:
\[P(J) = \frac{181}{216}\]
9. Resultado Final:
- Dentre as opções apresentadas, a que corresponde à maior probabilidade de vitória de Artur é \(\frac{125}{216}\) como a opção correta, considerando que o cálculo foi feito para Artur vencer em 125 casos.
Portanto, a análise e os cálculos demonstram que Artur, ao ter a maior probabilidade de vitória, resulta na opção correta.