Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
- A
36
- B
53
- C
300
gabarito - D
360
- E
560
Resolução
Para resolver a distribuição dos presentes entre os três filhos, precisamos considerar as restrições impostas e calcular as possibilidades.
1. Identificação dos filhos e presentes: Temos três filhos (mais velho, do meio e mais novo) e oito presentes diferentes, incluindo uma bicicleta e um celular.
2. Distribuição dos presentes: O filho mais velho e o mais novo receberão três presentes cada, enquanto o filho do meio receberá os dois presentes restantes.
3. Escolha do filho mais velho: O filho mais velho deve receber três presentes, sendo que ele pode escolher entre a bicicleta ou o celular, mas não ambos. Portanto, temos duas situações a considerar:
- Situação 1: O filho mais velho recebe a bicicleta.
- Situação 2: O filho mais velho recebe o celular.
4. Cálculo para a Situação 1 (bicicleta):
- Se o filho mais velho recebe a bicicleta, ele precisa escolher mais dois presentes entre os seis restantes (os oito presentes totais menos a bicicleta e o celular).
- O número de maneiras de escolher 2 presentes de 6 é dado por \(\binom{6}{2}\), que calcula a combinação de 6 elementos tomados 2 a 2.
5. Cálculo para a Situação 2 (celular):
- Se o filho mais velho recebe o celular, ele novamente escolhe mais dois presentes entre os seis restantes.
- O cálculo é o mesmo, resultando em 15 maneiras.
6. Total de maneiras para o filho mais velho: Somando as duas situações, temos:
\[15 + 15 = 30 \text{ maneiras}\]
7. Distribuição dos presentes restantes: Após a escolha dos presentes do filho mais velho, restam 5 presentes (8 totais menos 3 escolhidos pelo mais velho). O filho do meio receberá 2 presentes, e o mais novo receberá 3.
- O número de maneiras de escolher 2 presentes para o filho do meio entre os 5 restantes é dado por \(\binom{5}{2}\):
\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\]
8. Distribuição dos presentes para o filho mais novo: Após o filho do meio escolher 2 presentes, o filho mais novo receberá automaticamente os 3 presentes restantes.
9. Cálculo total: O total de maneiras de distribuir os presentes é o produto das escolhas do filho mais velho e das escolhas do filho do meio:
\[30 \text{ (maneiras para o mais velho)} \times 10 \text{ (maneiras para o do meio)} = 300\]
Portanto, a distribuição dos presentes pode ser feita de 300 maneiras distintas, confirmando que a alternativa correta é a letra C.