Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso ajustar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
- A
20
- B
60
- C
64
gabarito - D
68
- E
80
Resolução
Para que um cliente ganhe o voucher, ele deve retirar uma bolinha preta de cada urna. Portanto, a probabilidade de um cliente ganhar o voucher é o produto das probabilidades de retirar uma bolinha preta de cada urna. Inicialmente, essa probabilidade é de 20% * 25% = 5%.
O gerente quer que essa probabilidade seja menor ou igual a 1%. Portanto, ele precisa ajustar a quantidade de bolinhas na urna B. Sabemos que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que a probabilidade de retirar uma bolinha preta é de 25%. Para reduzir essa probabilidade, o gerente precisa aumentar o número total de bolinhas na urna, adicionando bolinhas brancas.
A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna B é dada pela razão entre o número de bolinhas pretas e o número total de bolinhas. Portanto, para encontrar o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B, precisamos resolver a seguinte equação:
4 / (4 + x) * 20% = 1%
Resolvendo para x, obtemos x = 76. No entanto, já temos 4 bolinhas pretas na urna B, então o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar é 76 - 4 = 72. Como a urna já tem 16 bolinhas brancas (porque a probabilidade de retirar uma bolinha preta é de 25%, então existem 16 bolinhas brancas), o gerente precisa adicionar 72 - 16 = 56 bolinhas brancas.
No entanto, para que a probabilidade de ganhar o voucher seja menor ou igual a 1%, o gerente deve arredondar para cima e adicionar 64 bolinhas brancas à urna B. Portanto, o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B é 64.