Você foi contratado para sincronizar os quatro semáforos de uma avenida, indicados pelas letras O, A, B e C, conforme a figura.
Os semáforos estão separados por uma distância de 500 m. Segundo os dados estatísticos da companhia controladora de trânsito, um veículo, que está inicialmente parado no semáforo O, tipicamente parte com aceleração constante de 1 m s-2 até atingir a velocidade de 72 km h-1 e, a partir daí, prossegue com velocidade constante. Você deve ajustar os semáforos A, B e C de modo que eles mudem para a cor verde quando o veiculo estiver a 100 m de cruzá-los, para que ele não tenha que reduzir a velocidade em nenhum momento.
Considerando essas condições, aproximadamente quanto tempo depois da abertura do semáforo O os semáforos A, B e C devem abrir, respectivamente?
- A
20 s, 45 s e 70 s.
- B
25 s, 50 s e 75 s.
- C
28 s, 42 s e 53 s.
- D
30 s, 55 s e 80 s.
gabarito - E
35 s, 60 s e 85 s.
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos calcular o tempo que o veículo leva para atingir a velocidade de 72 km/h (ou 20 m/s, convertendo para unidades do SI) e o tempo que ele leva para percorrer a distância restante até cada semáforo com essa velocidade constante.
Primeiro, vamos calcular o tempo para atingir a velocidade de 20 m/s com uma aceleração constante de 1 m/s². Usamos a fórmula da cinemática:
\(v = a \cdot t\)
Onde:
v = velocidade final (20 m/s)
a = aceleração (1 m/s²)
t = tempo
Substituindo os valores, temos:
\(20 = 1 \cdot t\)
\(t = 20 s\)
Agora, vamos calcular a distância percorrida durante essa aceleração usando a fórmula:
\(s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\)
Substituindo os valores, temos:
\(s = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (20)^2\)
\(s = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 400\)
\(s = 200 m\)
O veículo percorre 200 m enquanto acelera. Como a distância total até o primeiro semáforo (A) é de 500 m, a distância restante é de 300 m. O veículo percorrerá essa distância com velocidade constante de 20 m/s, então o tempo para percorrer essa distância é:
\(t = \frac{s}{v}\)
\(t = \frac{300}{20}\)
\(t = 15 s\)
Portanto, o semáforo A deve abrir após 20 s (tempo de aceleração) + 15 s (tempo com velocidade constante) = 35 s após a abertura do semáforo O.
Para o semáforo B, que está a 1000 m do ponto de partida, o veículo já estará com velocidade constante após os primeiros 200 m. Então, a distância restante é de 800 m, e o tempo para percorrer essa distância é:
\(t = \frac{800}{20} = 40 s\)
Somando o tempo de aceleração, temos 20 s + 40 s = 60 s após a abertura do semáforo O.
Para o semáforo C, que está a 1500 m do ponto de partida, a distância restante após os primeiros 200 m é de 1300 m. O tempo para percorrer essa distância é:
\(t = \frac{1300}{20} = 65 s\)
Somando o tempo de aceleração, temos 20 s + 65 s = 85 s após a abertura do semáforo O.
No entanto, o enunciado pede que os semáforos abram quando o veículo estiver a 100 m de cruzá-los. Portanto, devemos subtrair 5 s (o tempo para percorrer 100 m a 20 m/s) de cada um dos tempos calculados.
Assim, os semáforos A, B e C devem abrir, respectivamente, 30 s, 55 s e 80 s após a abertura do semáforo O. Portanto, a resposta correta é a alternativa D.