Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
- A
10 x 9 x 8
- B
20 x 18 x 16
gabarito - C
20 x 19 x 18
- D
10 x 9 x 8 x 2
- E
20 x 18 x 16 x 2
Resolução
Para resolver o problema de como constituir uma diretoria com três cargos (presidente, secretário e tesoureiro) a partir de 10 casais, onde no máximo uma pessoa por casal pode ocupar um cargo, precisamos seguir algumas etapas lógicas.
Primeiro, consideramos que cada casal possui duas pessoas, totalizando 20 indivíduos. No entanto, devido à restrição de que apenas uma pessoa de cada casal pode ser escolhida para ocupar um cargo, precisamos escolher primeiro quais casais participarão da diretoria.
1. Escolha dos casais: Para formar a diretoria, precisamos escolher 3 casais entre os 10 disponíveis. O número de maneiras de escolher 3 casais de 10 é dado pela combinação:
2. Escolha das pessoas: Após escolher 3 casais, precisamos escolher uma pessoa de cada casal para ocupar os cargos. Como cada casal tem duas opções (o homem ou a mulher), para os 3 casais escolhidos, teremos:
\[2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\]
3. Distribuição dos cargos: Depois de escolher as 3 pessoas, precisamos distribuir essas 3 entre os 3 cargos disponíveis. Existem \(3!\) maneiras de fazer isso, onde:
\[3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\]
4. Cálculo total: Agora, para obter o total de diretorias possíveis, multiplicamos o número de maneiras de escolher os casais, o número de maneiras de escolher as pessoas e o número de maneiras de distribuir os cargos:
\[\text{Total} = \binom{10}{3} \times 2^3 \times 3! = 120 \times 8 \times 6\]
Calculando isso:
\[120 \times 8 = 960\]
\[960 \times 6 = 5760\]
Entretanto, ao analisar as alternativas, notamos que a resposta correta é representada como \(20 \times 18 \times 16\). Essa expressão se refere ao número de maneiras de escolher diretamente as pessoas para os cargos, considerando que temos 20 opções (2 de cada casal) para o presidente, 18 para o secretário (uma pessoa já foi escolhida e não pode ser do mesmo casal do presidente) e 16 para o tesoureiro (duas pessoas já foram escolhidas).
Portanto, a alternativa correta, que representa o número total de diretorias diferentes que podem ser constituídas, é a que corresponde a \(20 \times 18 \times 16\).