Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 x 8.
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1/5.
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
- A
4 x 4.
- B
6 x 6.
- C
9 x 9.
- D
10 x 10.
gabarito - E
11 x 11.
Resolução
Ao posicionar a peça no tabuleiro, a sua zona de combate possui um número de peças equivalentes a duas vezes (n-1), pois a peça retira um quadrado do número de linhas e um quadrado do número de colunas. Sabendo que a probabilidade é a razão entre o número de quadrados da zona de combate e o número total de quadrados restantes (n²-1), vamos montar uma expressão representando essa razão menor que 1/5. Assim:
Temos uma equação de segundo grau. Calculando as raízes, obtemos o seguinte:
Como um quadrado não forma um tabuleiro, podemos concluir que o valor de n é igual a 9 para que a probabilidade seja equivalente a 1/5. Portanto, o número mínimo de quadrados para que a probabilidade seja menor que esse valor é 10.