O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.
Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
- A
Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
- B
Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
- C
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
- D
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
- E
Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.
gabarito
Resolução
A resposta correta é a alternativa E, pois a soma dos números de 1 a 6 é 21. Como o triângulo mágico possui três lados e queremos que a soma dos números em cada lado seja igual, a soma total dos números em cada lado deve ser um divisor de 21. Os divisores de 21 são 1, 3, 7 e 21. No entanto, como estamos usando os números de 1 a 6, a soma em cada lado não pode ser 1 ou 3, pois o menor número que podemos usar é 1 e o maior é 6. Portanto, as únicas somas possíveis em cada lado são 7 e 21/3 = 7.
Além disso, como os números nos vértices do triângulo devem estar em progressão aritmética de razão 2, os únicos conjuntos possíveis de números nos vértices são (1, 3, 5) ou (2, 4, 6). Se usarmos o conjunto (1, 3, 5), a soma dos vértices é 9, o que não é um divisor de 21. Se usarmos o conjunto (2, 4, 6), a soma dos vértices é 12, o que também não é um divisor de 21. Portanto, não é possível ter uma soma de 7 em cada lado com os números nos vértices em progressão aritmética de razão 2.
No entanto, se considerarmos a soma total dos números em cada lado como 21, podemos dividir essa soma em três partes iguais de 7. Isso significa que podemos ter uma solução em que a soma em cada lado do triângulo seja 10 (com os números 1, 2, 3, 4 e 6 distribuídos de forma que a soma em cada lado seja 10) e outra solução em que a soma em cada lado seja 11 (com os números 1, 2, 3, 5 e 6 distribuídos de forma que a soma em cada lado seja 11). Portanto, a alternativa E é a correta.