Uma vacina foi testada em um grupo formado por 15 mulheres e 15 homens. Em testes clínicos realizados ao longo de vários anos, a vacina mostrou-se capaz de imunizar 80% das mulheres e 60% dos homens contra uma doença.
Um repórter, pretendendo fazer uma entrevista com uma das pessoas desse grupo, obteve uma listagem com os 30 números de telefone dessas pessoas, porém sem os respectivos nomes. Ele escolheu aleatoriamente um desses números e ligou para agendar a entrevista.
A probabilidade de que a pessoa para a qual o repórter telefonou seja um homem ou uma pessoa que tenha adquirido imunidade a essa doença com o uso da vacina é
- A
1/20
- B
3/10
- C
7/20
- D
8/10
- E
9/10
gabarito
Resolução
Para determinar a probabilidade de que a pessoa para a qual o repórter telefonou seja um homem ou uma pessoa que adquiriu imunidade à doença com o uso da vacina, vamos analisar os dados apresentados.
Primeiramente, temos um grupo de 30 pessoas, composto por 15 mulheres e 15 homens. A vacina imunizou 80% das mulheres e 60% dos homens. Vamos calcular quantas mulheres e homens adquiriram imunidade.
1. Cálculo das mulheres imunizadas:
2. Cálculo dos homens imunizados:
\[\text{Homens imunizados} = 15 \times 0,6 = 9\]
Agora, podemos determinar o total de pessoas que estão imunizadas, somando o número de mulheres e homens imunizados:
\[\text{Total imunizados} = 12 + 9 = 21\]
A probabilidade de escolher uma pessoa que seja um homem ou que tenha adquirido imunidade pode ser calculada utilizando a fórmula da probabilidade da união de dois eventos. Denotando \(A\) como o evento de escolher um homem e \(B\) como o evento de escolher uma pessoa imunizada, temos:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
• Probabilidade de escolher um homem:
\[P(A) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}\]
• Probabilidade de escolher uma pessoa imunizada:
\[P(B) = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}\]
• Probabilidade de escolher um homem que está imunizado:
Como já sabemos, 9 homens estão imunizados, então:
\[P(A \cap B) = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}\]
Agora, substituindo os valores na fórmula da probabilidade da união:
\[P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{7}{10} - \frac{3}{10}\]
Para somar as frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 2 e 10 é 10. Assim, podemos reescrever \(\frac{1}{2}\):
\[\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\]
Então, substituindo:
\[P(A \cup B) = \frac{5}{10} + \frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5 + 7 - 3}{10} = \frac{9}{10}\]
Portanto, a probabilidade de que a pessoa para a qual o repórter telefonou seja um homem ou uma pessoa que adquiriu imunidade à doença com o uso da vacina é \(\frac{9}{10}\). Isso justifica a escolha da alternativa correta.