Para resolver o problema do fazendeiro que deseja construir um galinheiro retangular com as maiores dimensões possíveis, levando em consideração o custo das telas, vamos seguir os seguintes passos:
1. Definição das variáveis:
- Seja \(C\) o comprimento do lado maior do galinheiro (em metros).
- O lado menor do galinheiro tem comprimento fixo de 1 metro.
2. Cálculo do perímetro e do custo das telas:
- O galinheiro tem dois lados de 1 metro e dois lados de \(C\) metros.
- O custo da tela para os lados de 1 metro é de R$ 20,00 por metro, enquanto para os lados de \(C\) metros é de R$ 15,00 por metro.
- O custo total da tela pode ser calculado assim:
\[\text{Custo total} = 2 \cdot (1 \cdot 20) + 2 \cdot (C \cdot 15)\]
Simplificando, temos:
\[\text{Custo total} = 40 + 30C\]
3. Condição de custo:
- O fazendeiro quer gastar no máximo R$ 6000,00, então temos a seguinte inequação:
\[40 + 30C \leq 6000\]
Subtraindo 40 de ambos os lados:
\[30C \leq 5960\]
Dividindo ambos os lados por 30:
\[C \leq \frac{5960}{30} \approx 198.67\]
Assim, o comprimento máximo de \(C\) que o fazendeiro pode usar é aproximadamente 198,67 metros.
4. Cálculo da área:
- A área \(A\) do galinheiro é dada pela fórmula:
\[A = 1 \cdot C = C\]
5. Maximizando a área:
- Para maximizar a área, o fazendeiro deve escolher \(C\) o mais próximo possível do seu limite superior, que é 198,67 metros. No entanto, como estamos lidando com medidas inteiras, o valor máximo que podemos considerar para \(C\) é 198 metros.
6. Verificação das alternativas:
- Entre as opções apresentadas, a maior medida disponível é 200 metros. No entanto, essa medida excede o limite de custo. Portanto, a opção correta que se aproxima do limite e ainda está dentro do orçamento é 100 metros.
Assim, a medida do maior lado do galinheiro que maximiza a área sem ultrapassar o custo é 100 metros.