A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, que é um tipo de poliedro convexo cujas faces são polígonos regulares, mas que não se enquadra nas categorias de poliedros de Platão, de Arquimedes, prismas ou antiprismas. Para determinar o número de vértices desse poliedro, podemos analisar suas faces e a forma como elas se conectam.

O poliedro em questão é composto por:

• 1 base pentagonal (verde na imagem).
• 5 triângulos equiláteros (azuis) ao redor da base pentagonal.
• 5 quadrados (amarelos) intercalados entre os triângulos.
• 1 base decagonal (vermelha) que forma a "tampa" do poliedro.

Para calcular o número de vértices, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é dada por:

\(V - A + F = 2\)

onde \(V\) é o número de vértices, \(A\) é o número de arestas e \(F\) é o número de faces.

Primeiro, vamos contar o número de faces (\(F\)):

• 1 pentágono
• 5 triângulos
• 5 quadrados
• 1 decágono

Totalizando \(F = 12\) faces.

Agora, vamos contar o número de arestas (\(A\)):

• O pentágono tem 5 arestas.
• Cada triângulo tem 3 arestas, mas como eles compartilham arestas com os quadrados e a base, precisamos considerar apenas as arestas externas. Assim, temos 5 arestas compartilhadas com os quadrados.
• Cada quadrado tem 4 arestas, mas compartilha 2 arestas com os triângulos e 1 com a base, resultando em 5 arestas externas.
• O decágono tem 10 arestas.

Somando todas as arestas, temos:

\(A = 5 + 5 + 5 + 10 = 25\)

Agora, aplicando a fórmula de Euler:

\(V - 25 + 12 = 2\)

\(V - 13 = 2\)

\(V = 15\)

No entanto, ao revisar a contagem de vértices, percebemos que a contagem correta de vértices deve considerar a interseção das faces. O poliedro possui 5 vértices na base pentagonal, 5 vértices na base decagonal e 5 vértices adicionais onde os triângulos e quadrados se encontram, totalizando 25 vértices.

Portanto, o poliedro possui 25 vértices.