Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 cm por 20 cm. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.
Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a
- A
4000 π
- B
2000 π
- C
4000/π
- D
1000/π
gabarito - E
500/π
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos calcular o volume dos dois cilindros formados pelas folhas de alumínio e comparar os resultados.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro:
\(V = \pi r^2 h\)
onde:
• \(V\) é o volume,
• \(r\) é o raio da base,
• \(h\) é a altura do cilindro.
Embalagem 1:
Para a Embalagem 1, a folha de alumínio de 20 cm por 10 cm é enrolada de forma que a altura do cilindro é 20 cm e a circunferência da base é 10 cm.
A circunferência da base do cilindro é dada por:
\(C = 2 \pi r\)
Então, temos:
\(2 \pi r = 10\)
\(r = \frac{10}{2 \pi} = \frac{5}{\pi}\)
Agora, substituímos \(r\) e \(h\) na fórmula do volume:
\(V_1 = \pi \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \cdot 20\)
\(V_1 = \pi \cdot \frac{25}{\pi^2} \cdot 20\)
\(V_1 = \frac{500}{\pi}\)
Embalagem 2:
Para a Embalagem 2, a folha de alumínio de 20 cm por 10 cm é enrolada de forma que a altura do cilindro é 10 cm e a circunferência da base é 20 cm.
A circunferência da base do cilindro é dada por:
\(C = 2 \pi r\)
Então, temos:
\(2 \pi r = 20\)
\(r = \frac{20}{2 \pi} = \frac{10}{\pi}\)
Agora, substituímos \(r\) e \(h\) na fórmula do volume:
\(V_2 = \pi \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \cdot 10\)
\(V_2 = \pi \cdot \frac{100}{\pi^2} \cdot 10\)
\(V_2 = \frac{1000}{\pi}\)
Comparação dos Volumes:
Comparando os volumes dos dois cilindros:
• Volume da Embalagem 1: \(\frac{500}{\pi}\)
• Volume da Embalagem 2: \(\frac{1000}{\pi}\)
Portanto, a Embalagem 2 tem o maior volume, que é \(\frac{1000}{\pi}\) cm³.
Assim, a resposta correta é a alternativa que corresponde a \(\frac{1000}{\pi}\).