A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3 os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
- A
2 e 3.
- B
4 e 5.
- C
5 e 6.
gabarito - D
7 e 8.
- E
8 e 9.
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos entender a configuração geométrica apresentada. Temos um triângulo equilátero \(P_1P_2P_3\) com lados de 10 km, e o ponto \(H\) é o centro desse triângulo, onde será construído o hospital. Queremos determinar a distância entre o ponto \(H\) e cada um dos pontos \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\).
Em um triângulo equilátero, o centro (ponto \(H\)) é também o ponto de encontro das medianas, das alturas, das bissetrizes e das mediatrizes. A distância do centro de um triângulo equilátero a qualquer um dos seus vértices é dada pela fórmula:
d = /frac{l /sqrt{3}}{3}
onde \(l\) é o comprimento do lado do triângulo.
Substituindo \(l = 10\) km na fórmula, temos:
d = /frac{10 /sqrt{3}}{3} /approx 5.77 /text{ km}
Portanto, a distância entre o hospital \(H\) e cada um dos postos de saúde \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\) é aproximadamente 5.77 km, que está entre 5 e 6 km.
Assim, a resposta correta é a alternativa que corresponde ao intervalo de 5 a 6 km.