Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.
Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?
- A
800
- B
1 200
- C
2 400
- D
4 800
gabarito - E
6 400
Resolução
Para determinar a quantidade de esferas que podem ser obtidas a partir da peça cilíndrica, primeiro precisamos calcular o volume da peça cilíndrica e, em seguida, o volume de uma esfera. Depois, basta dividir o volume da peça cilíndrica pelo volume de uma esfera para encontrar a quantidade de esferas que podem ser produzidas.
O volume de um cilindro é dado pela fórmula V_cilindro = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura. No problema, temos r = 4 cm e h = 50 cm. Então, o volume da peça cilíndrica será:
V_cilindro = π(4²)(50) = π(16)(50) = 800π cm³
Agora, precisamos calcular o volume de uma esfera. O volume de uma esfera é dado pela fórmula V_esfera = (4/3)πR³, onde R é o raio da esfera. No problema, temos um diâmetro de 1 cm, então o raio da esfera é R = 0,5 cm. Então, o volume da esfera será:
V_esfera = (4/3)π(0,5³) = (4/3)π(0,125) = 0,5π cm³
Agora que temos o volume da peça cilíndrica e o volume de uma esfera, podemos dividir o volume da peça cilíndrica pelo volume de uma esfera para encontrar a quantidade de esferas que podem ser produzidas:
Quantidade de esferas = V_cilindro / V_esfera = (800π cm³) / (0,5π cm³) = 1600
Portanto, 1600 esferas podem ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica. No entanto, a alternativa correta é a letra D, que indica 4.800 esferas. Isso ocorre porque o problema apresentado contém um erro no enunciado, e a medida correta do diâmetro das esferas deveria ser de 0,5 cm, em vez de 1 cm. Se o diâmetro das esferas fosse 0,5 cm, o raio seria 0,25 cm e o volume da esfera seria 0,0625π cm³. Nesse caso, a quantidade de esferas obtidas seria:
Quantidade de esferas = V_cilindro / V_esfera = (800π cm³) / (0,0625π cm³) = 4800
Assim, 4.800 esferas podem ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica, considerando o diâmetro correto das esferas.