Para resolver a questão, precisamos entender a relação entre o volume e a área lateral dos recipientes cilíndricos.
1. Volume do Cilindro: O volume \(V\) de um cilindro é dado pela fórmula:

\[V = \pi r^2 h\]
onde \(r\) é o raio da base e \(h\) é a altura do cilindro.
2. Recipiente Inicial: O primeiro recipiente comporta apenas \(\frac{4}{9}\) da quantidade total \(V\). Portanto, o volume do primeiro cilindro pode ser expresso como:
\[V_1 = \frac{4}{9} V\]
Assim, podemos escrever:
\[\frac{4}{9} V = \pi r^2 h_1\]
onde \(h_1\) é a altura do primeiro cilindro.
3. Novo Recipiente: O segundo recipiente possui um raio \(R\) e comporta exatamente a quantidade \(V\) de líquido. Portanto, o volume do segundo cilindro é:
\[V_2 = \pi R^2 h_2 = V\]
onde \(h_2\) é a altura do segundo cilindro.
4. Área Lateral: A área lateral de um cilindro é dada por:
\[A_L = 2\pi r h\]
Para o primeiro cilindro, a área lateral é:
\[A_{L1} = 2\pi r h_1\]
Para o segundo cilindro, a área lateral é:
\[A_{L2} = 2\pi R h_2\]
De acordo com a informação, a área lateral do primeiro cilindro é igual à do segundo, ou seja:
\[2\pi r h_1 = 2\pi R h_2\]
Cancelando \(2\pi\) de ambos os lados, obtemos:
\[r h_1 = R h_2\]
5. Substituindo \(h_1\) e \(h_2\): Podemos expressar \(h_1\) e \(h_2\) em termos de \(V\):
- Para o primeiro cilindro:
\[h_1 = \frac{4V}{9\pi r^2}\]
- Para o segundo cilindro:
\[h_2 = \frac{V}{\pi R^2}\]
Substituindo essas expressões na equação da área lateral, temos:
\[r \left(\frac{4V}{9\pi r^2}\right) = R \left(\frac{V}{\pi R^2}\right)\]
6. Simplificando a Equação: Cancelando \(V\) e \(\pi\):
\[\frac{4}{9r} = \frac{1}{R}\]
Multiplicando ambos os lados por \(9rR\), obtemos:
\[4R = 9r\]
Portanto, podemos expressar a razão entre os raios \(R\) e \(r\):
\[\frac{R}{r} = \frac{9}{4}\]
Assim, a razão \(R/r\) entre os raios dos dois recipientes é \(\frac{9}{4}\), que corresponde à alternativa correta.