Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade.
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)?
- A\[a=\frac{h}{12}\]
- B\[a=\frac{h}{6}\]
- C\[a=\frac{2h}{3}\]
- D\[a=\frac{4h}{3}\]gabarito
- E\[a=\frac{4h}{9}\]
Resolução
A partir da análise dos dados da questão, tem-se que o volume do cilindro reduzido é \(\frac{1}{3}\) do original e o raio é \(\frac{1}{2}\) do original. Assim, tem-se:
\[V_{reduzido}=\frac{V_{original}}{3}\rightarrow V_{reduzido}=\frac{\pi R^2h}{3}\]
Relacionando as alturas, temos:
\[\frac{\pi R^2h}{3}=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2a\rightarrow\frac{\pi R^2h}{3}=\frac{\pi R^2a}{4}\rightarrow\frac{h}{3}=\frac{a}{4}\rightarrow a=\frac{4h}{3}\]