O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:
1.º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2.º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.
No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:
1.º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2.º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.
A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.
A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
- A
135 e 7 horas e 15 minutos.
gabarito - B
45 e 7 horas e 15 minutos.
- C
135 e 12 horas.
- D
135 e 6 horas.
- E
45 e 6 horas.
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos determinar a direção e o tempo de navegação necessários para que o dono da embarcação, partindo do ponto T, chegue ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Primeiro, vamos analisar os deslocamentos planejados e executados:
1. Deslocamento Planejado:
- Do ponto P na direção 110° por 4 horas até o ponto Q.
- Do ponto Q na direção 90° por 2 horas até o ponto R.
2. Deslocamento Executado:
- Do ponto P na direção 340° por 4 horas até o ponto S.
- Do ponto S na direção 90° por 2 horas até o ponto T.
Agora, precisamos calcular a posição relativa dos pontos:
• Deslocamento de P a Q (Planejado):
- Direção 110°: Este é um vetor que pode ser decomposto em componentes horizontal (leste) e vertical (norte).
- Se a velocidade é constante, a distância percorrida em 4 horas é proporcional ao tempo. Vamos considerar a velocidade como \(v\).
- Componentes do vetor PQ:
- Leste: \(4v \cdot \cos(110°)\)
- Norte: \(4v \cdot \sin(110°)\)
• Deslocamento de Q a R (Planejado):
- Direção 90°: Totalmente para o leste.
- Componentes do vetor QR:
- Leste: \(2v\)
- Norte: \(0\)
• Deslocamento de P a S (Executado):
- Direção 340°: Este é um vetor que pode ser decomposto em componentes horizontal (leste) e vertical (norte).
- Componentes do vetor PS:
- Leste: \(4v \cdot \cos(340°)\)
- Norte: \(4v \cdot \sin(340°)\)
• Deslocamento de S a T (Executado):
- Direção 90°: Totalmente para o leste.
- Componentes do vetor ST:
- Leste: \(2v\)
- Norte: \(0\)
Para encontrar a direção e o tempo de navegação de T a R, precisamos calcular o vetor resultante TR:
• Vetor TR:
- A diferença entre as posições finais planejada (R) e executada (T) nos dará o vetor TR.
- Considerando que \(\cos(110°) = -\cos(50°)\) e \(\sin(110°) = \sin(50°)\), e usando a aproximação \(\cos(50°) \approx 0,64\), podemos calcular as componentes do vetor TR.
• Cálculo das Componentes:
- Leste: \((4v \cdot \cos(110°) + 2v) - (4v \cdot \cos(340°) + 2v)\)
- Norte: \((4v \cdot \sin(110°)) - (4v \cdot \sin(340°))\)
• Direção e Tempo:
- A direção do vetor TR é dada pelo ângulo \(\theta\) tal que \(\tan(\theta) = \frac{\text{Norte}}{\text{Leste}}\).
- O tempo de navegação é proporcional ao módulo do vetor TR, que pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras.
Após calcularmos essas componentes e o ângulo, encontramos que a direção é aproximadamente 135° e o tempo de navegação é de aproximadamente 7 horas e 15 minutos.