O espectrômetro de massa de tempo de voo é um dispositivo utilizado para medir a massa de íons. Nele, um íon de carga elétrica q é lançado em uma região de campo magnético constante \(\vec B,\), descrevendo uma trajetória helicoidal, conforme a figura. Essa trajetória é formada pela composição de um movimento circular uniforme no plano yz e uma translação ao longo do eixo x. A vantagem desse dispositivo é que a velocidade angular do movimento helicoidal do íon é independente de sua velocidade inicial. O dispositivo então mede o tempo t de voo para N voltas do íon. Logo, com base nos valores q, B, N e t, pode-se determinar a massa do íon.
A massa do fon medida por esse dispositivo será
- A\[\frac{qBt}{2\pi N}\]gabarito
- B\[\frac{qBt}{\pi N}\]
- C\[\frac{2qBt}{\pi N}\]
- D\[\frac{qBt}{N}\]
- E\[\frac{2qBt}{N}\]
Resolução
A massa do íon pode ser determinada a partir da relação entre a força magnética e a força centrípeta que atuam sobre o íon em movimento. A força magnética é dada por \(F_m = qvB\), onde \(q\) é a carga do íon, \(v\) é a velocidade do íon e \(B\) é o campo magnético. A força centrípeta é dada por \(F_c = \frac{mv^2}{r}\), onde \(m\) é a massa do íon e \(r\) é o raio da trajetória circular.
Como o movimento é helicoidal, a componente da velocidade perpendicular ao campo magnético é constante e igual à velocidade circular \(v_c\). Igualando as duas forças, temos \(qvB = \frac{mv_c^2}{r}\). Rearranjando a equação para a massa, obtemos \(m = \frac{qBr}{v_c}\).
A velocidade angular \(\omega\) do movimento helicoidal é constante e independente da velocidade inicial, e é dada por \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), onde \(T\) é o período do movimento circular. Como o íon completa \(N\) voltas em um tempo \(t\), temos \(T = \frac{t}{N}\). Substituindo na expressão de \(\omega\), temos \(\omega = \frac{2\pi N}{t}\).
A velocidade circular \(v_c\) está relacionada com a velocidade angular por \(v_c = \omega r\). Substituindo \(\omega\) na expressão de \(v_c\), temos \(v_c = \frac{2\pi N}{t}r\). Substituindo \(v_c\) na expressão da massa, obtemos \(m = \frac{qBr}{\frac{2\pi N}{t}r}\), que simplifica para \(m = \frac{qBt}{2\pi N}\).
Portanto, a massa do íon medida por esse dispositivo é dada pela expressão \(m = \frac{qBt}{2\pi N}\).