Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de lado \(1\) metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.
Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?
- A\[\frac{1}{16}\]
- B\[\frac{\sqrt{3}}{16}\]gabarito
- C\[\frac{1}{8}\]
- D\[\frac{\sqrt{3}}{8}\]
- E\[\frac{\sqrt{3}}{4}\]
Resolução
A área de um triângulo equilátero de lado 1 metro é dada pela fórmula:
\(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times l^2\)
Substituindo o valor do lado l = 1 metro, temos:
\(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\)
O triângulo DEF é um dos quatro triângulos menores e congruentes formados dentro do triângulo equilátero ABC. Portanto, a área do triângulo DEF é um quarto da área do triângulo ABC.
Dividindo a área do triângulo ABC por 4, obtemos a área do triângulo DEF:
\(A_{DEF} = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}\)
Portanto, a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF é \(\frac{\sqrt{3}}{16}\) m².