Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão do movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.
Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento.
Considere 3 como valor aproximado para π.
A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é
- A
54.
- B
60.
- C
66.
- D
68.
gabarito - E
72.
Resolução
Para determinar o comprimento da correia, precisamos considerar tanto os segmentos retos quanto os segmentos curvos que envolvem as polias.
Primeiro, vamos calcular os segmentos retos. A distância entre os centros das polias é de 15 cm. Como há dois segmentos retos, um de cada lado, a soma desses segmentos é:
\[2 \times 15 = 30 \text{ cm}\]
Agora, vamos calcular os segmentos curvos. A polia menor tem um raio de 4 cm e a polia maior tem um raio de 8 cm. A correia envolve 150° da polia menor e 210° da polia maior. Para converter esses ângulos em radianos, usamos a relação:
\[\theta \text{ (em radianos)} = \theta \text{ (em graus)} \times \frac{\pi}{180}\]
Para a polia menor:
\[150° \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \text{ radianos}\]
Para a polia maior:
\[210° \times \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6} \text{ radianos}\]
O comprimento do arco é dado por:
\[\text{Comprimento do arco} = \theta \times r\]
Para a polia menor:
\[\frac{5\pi}{6} \times 4 = \frac{20\pi}{6} = \frac{10\pi}{3}\]
Para a polia maior:
\[\frac{7\pi}{6} \times 8 = \frac{56\pi}{6} = \frac{28\pi}{3}\]
Somando os comprimentos dos arcos:
\[\frac{10\pi}{3} + \frac{28\pi}{3} = \frac{38\pi}{3}\]
Usando o valor aproximado de \(\pi = 3\):
\[\frac{38 \times 3}{3} = 38 \text{ cm}\]
Finalmente, somamos os segmentos retos e os segmentos curvos:
\[30 \text{ cm} + 38 \text{ cm} = 68 \text{ cm}\]
Portanto, o comprimento total da correia é 68 cm.