O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão.
Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
opção l:h = 11m e a = 30
opção IIh = 12m e a = 45
opção IlI:h = 18m e a=60
A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.
Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
- A\[\frac{22\sqrt{3}}{3}\]
- B\[11\sqrt{2}\]
- C\[12\sqrt{2}\]gabarito
- D\[12\sqrt{3}\]
- E\[22\]
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos calcular o comprimento do cabo de aço para cada uma das três opções de instalação e escolher a que resulta no menor comprimento possível.
Vamos começar analisando a primeira opção:
• h = 11 m
• α = 30°
Usando a relação trigonométrica do seno no triângulo retângulo formado pelo mastro, o cabo de aço e o chão, temos:
\(\sin(\alpha) = \frac{h}{l}\)
\(\sin(30^\circ) = \frac{11}{l}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{11}{l}\)
\(l = 22 \text{ m}\)
Agora, para a segunda opção:
• h = 12 m
• α = 45°
Usando a mesma relação trigonométrica:
\(\sin(\alpha) = \frac{h}{l}\)
\(\sin(45^\circ) = \frac{12}{l}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{12}{l}\)
\(l = 12\sqrt{2} \text{ m}\)
Por fim, para a terceira opção:
• h = 18 m
• α = 60°
Usando a relação trigonométrica novamente:
\(\sin(\alpha) = \frac{h}{l}\)
\(\sin(60^\circ) = \frac{18}{l}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18}{l}\)
\(l = 12\sqrt{3} \text{ m}\)
Comparando os comprimentos dos cabos de aço calculados para cada opção, temos:
• Primeira opção: 22 m
• Segunda opção: \(12\sqrt{2} \text{ m}\) (aproximadamente 16,97 m)
• Terceira opção: \(12\sqrt{3} \text{ m}\) (aproximadamente 20,78 m)
A segunda opção resulta no menor comprimento de cabo de aço necessário, que é \(12\sqrt{2} \text{ m}\). Portanto, a opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível, que é a segunda opção.