Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.
O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.
O projeto a ser aprovado é
- A
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m2.
gabarito - B
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m2.
- C
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m2.
- D
o 2,pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m2.
- E
qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Resolução
Para determinar qual projeto deve ser aprovado, precisamos calcular a área da seção transversal de cada túnel, pois o projeto com a menor área de seção transversal implicará em menor volume de material a ser retirado da montanha.
Projeto 1:
O Projeto 1 possui dois túneis semicirculares, um para automóveis e outro para bicicletas.
1. Túnel para automóveis:
- Diâmetro: 12 m
- Raio: \(r = \frac{12}{2} = 6\) m
- Área da seção transversal (semicírculo):
2. Túnel para bicicletas:
- Diâmetro: 6 m
- Raio: \(r = \frac{6}{2} = 3\) m
- Área da seção transversal (semicírculo):
\[A_{\text{bicicletas}} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 9 = 13,5 \, \text{m}^2\]
3. Área total do Projeto 1:
\[A_{\text{total, Projeto 1}} = A_{\text{automóveis}} + A_{\text{bicicletas}} = 54 + 13,5 = 67,5 \, \text{m}^2\]
Projeto 2:
O Projeto 2 possui um único túnel semicircular de uso misto.
1. Túnel de uso misto:
- Diâmetro: 18 m (soma das larguras: 3 m + 6 m + 6 m + 3 m)
- Raio: \(r = \frac{18}{2} = 9\) m
- Área da seção transversal (semicírculo):
\[A_{\text{uso misto}} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 9^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 81 = 121,5 \, \text{m}^2\]
Comparando as áreas totais das seções transversais dos dois projetos, o Projeto 1 tem uma área de 67,5 m², enquanto o Projeto 2 tem uma área de 121,5 m². Portanto, o Projeto 1 apresenta a menor área de seção transversal, o que implica em menor volume de material a ser retirado da montanha.