Um confeiteiro passou a produzir tortas em formato de cilindro circular reto, com raio da base variando entre 12 cm e 16 cm e altura de 6 cm. Essas tortas deverão ser embaladas em caixas com formato de prisma reto de base quadrada, de modo que seja possível acomodar a torta em seu interior e ainda restar pelo menos 1 cm de distância entre a torta e as superfícies internas da caixa, lateral e superior. Ele dispõe, originalmente, de caixas no formato pretendido, cujas dimensões internas são 14 cm de comprimento do lado da base e 7 cm de altura, que não atendem às suas necessidades. Portanto, ele comprará novas caixas, com o mesmo formato das caixas originais, mas com comprimento do lado da base maior, que sejam adequadas para embalar todos os tipos de torta que produz.
A aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, quantos centímetros maior do que a das caixas originais?
- A
4
- B
12
- C
16
- D
18
- E
20
gabarito
Resolução
Para determinar o aumento necessário na aresta da base das novas caixas, precisamos primeiro entender as dimensões das tortas e como elas se encaixam nas caixas.
As tortas têm um formato de cilindro circular reto com um raio que varia entre 12 cm e 16 cm e uma altura de 6 cm. A partir dessas informações, podemos calcular o diâmetro máximo da torta, que é o valor mais crítico para garantir que a torta caiba na caixa.
O diâmetro \(d\) de um cilindro é dado por:
onde \(r\) é o raio. Para o maior raio (16 cm), o diâmetro será:
\[d = 2 \cdot 16 = 32 \text{ cm}\]
Além disso, a altura da torta é de 6 cm. Para que a torta caiba na caixa e ainda tenha pelo menos 1 cm de distância em todas as direções, precisamos considerar as dimensões internas da caixa.
As novas caixas precisam ter um espaço que permita 1 cm de folga em relação ao diâmetro da torta e também em relação à altura. Portanto, para o diâmetro, precisamos de:
\[d_{\text{caixa}} \geq d + 2 \cdot 1 = 32 + 2 = 34 \text{ cm}\]
Como a base das caixas é quadrada, se chamarmos \(L\) de comprimento do lado da base da caixa, temos:
\[L \geq 34 \text{ cm}\]
Para as alturas, precisamos garantir que a altura da caixa também permita a folga de 1 cm. Assim, a altura mínima da caixa deve ser:
\[h_{\text{caixa}} \geq h_{\text{torta}} + 1 = 6 + 1 = 7 \text{ cm}\]
As caixas originais têm 7 cm de altura, portanto, essa dimensão já atende à necessidade.
Agora, vamos comparar com as dimensões das caixas originais, que têm 14 cm de comprimento do lado da base. Para encontrar o aumento necessário, calculamos:
\[L_{\text{novo}} - L_{\text{original}} = 34 - 14 = 20 \text{ cm}\]
Portanto, a aresta da base das novas caixas deve ser, no mínimo, 20 cm maior do que a das caixas originais. Essa análise justifica a escolha da alternativa correta.