Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais \(\text{12}\) vagões de iguais formato e tamanho, numerados de \(\text{1}\) a \(\text{12.}\) Dos \(\text{12}\) vagões, \(\text{4}\) são pintados na cor vermelha, \(\text{3}\) na cor azul, \(\text{3}\) na cor verde e \(\text{ 2}\) na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e \(12\) vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por
- A\[C\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\times C\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\times C\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\times C\begin{matrix}2\\12\end{matrix}\]
- B\[C\begin{matrix}4\\12\end{matrix}+C\begin{matrix}3\\8\end{matrix}+C\begin{matrix}3\\5\end{matrix}+C\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\]
- C\[C\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\times 2\times C\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\times C\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\]
- D\[C\begin{matrix}4\\12\end{matrix}+2\times C\begin{matrix}3\\12\end{matrix}+C\begin{matrix}2\\12\end{matrix}\]
- E\[C\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\times C\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\times C\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\times C\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\]gabarito
Resolução
Para as possíveis colorações dos vagões temos, inicialmente, que escolher 4 dos 12 vagões para pintar de azul. Após, devemos escolher 3 dos 8 vagões que restaram para pintar de vermelho. Em seguida, escolher 3 dos 5 vagões restantes para colorir de verde e, por fim, pintar os dois vagões restantes de amarelo. Assim, o número de maneiras que isso pode ocorres é dado por:
\[C_{12}^4\cdot C_8^3\cdot C_5^3\cdot C_2^2\]