Para resolver o problema, vamos usar as definições de densidade demográfica e a relação entre a área e o número de habitantes das regiões R e Q.
1. Definições:
- A densidade demográfica de uma região é dada pela fórmula:
d = /frac{N}{A}
onde \(N\) é o número de habitantes e \(A\) é a área da região.
2. Dados da região R:
- Seja \(A_R\) a área da região R e \(N_R\) o número de habitantes da região R.
- A densidade demográfica de R é então:
d(R) = /frac{N_R}{A_R}
3. Dados da região Q:
- A área de Q é igual a três quartos da área de R:
A_Q = /frac{3}{4} A_R
- O número de habitantes de Q é igual à metade do número de habitantes de R:
N_Q = /frac{1}{2} N_R
4. Cálculo da densidade demográfica de Q:
- Usando a fórmula da densidade para a região Q, temos:
d(Q) = /frac{N_Q}{A_Q}
- Substituindo \(N_Q\) e \(A_Q\) na expressão, obtemos:
d(Q) = /frac{/frac{1}{2} N_R}{/frac{3}{4} A_R}
5. Simplificando a expressão:
- Para simplificar, podemos multiplicar o numerador e o denominador:
d(Q) = /frac{1}{2} N_R /cdot /frac{4}{3 A_R} = /frac{2 N_R}{3 A_R}
6. Expressando d(Q) em termos de d(R):
- Sabemos que d(R) = /frac{N_R}{A_R}. Assim, podemos substituir \(N_R\) por \(d(R) \cdot A_R\) na expressão de \(d(Q)\):
d(Q) = /frac{2}{3} /cdot /frac{N_R}{A_R} = /frac{2}{3} d(R)
7. Conclusão:
- Portanto, a relação entre as densidades demográficas de Q e R é:
d(Q) = /frac{2}{3} d(R)
Assim, a expressão que relaciona \(d(Q)\) e \(d(R)\) é que \(d(Q)\) é igual a \(\frac{2}{3}\) de \(d(R)\).