Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório.
O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo 15/60. A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade de tempo, em segundos, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a 4/100, considerando os eventos independentes.
Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundo, estabelecida pelo engenheiro foi de
- A
1,35.
- B
3,00.
gabarito - C
9,00.
- D
12,60.
- E
13,80.
Resolução
Para resolver o problema, vamos analisar a situação passo a passo.
1. Entendimento do Problema:
- O semáforo atualmente fica vermelho por 15 segundos em um ciclo de 60 segundos. Portanto, a probabilidade de um ônibus encontrar o semáforo vermelho é dada por:
\[P(V) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}\]
2. Probabilidade de Encontrar Ambos os Semáforos Vermelhos:
- O engenheiro deseja que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os semáforos vermelhos em uma mesma viagem seja igual a \(\frac{4}{100} = \frac{1}{25}\).
- Como os eventos são independentes, a probabilidade de encontrar ambos os semáforos vermelhos é o produto das probabilidades individuais:
\[P(V_1 \cap V_2) = P(V_1) \times P(V_2)\]
- Se a probabilidade de encontrar um semáforo vermelho é \(P(V)\), então:
\[P(V_1 \cap V_2) = P(V)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\]
3. Redução do Tempo em Que o Sinal Fica Vermelho:
- Vamos chamar o tempo que o semáforo ficará vermelho após a redução de \(x\) segundos. Assim, o novo tempo em que o semáforo ficará vermelho será \(15 - x\) segundos.
- O novo ciclo total do semáforo continua sendo 60 segundos. Portanto, a nova probabilidade de um ônibus encontrar um semáforo vermelho se torna:
\[P(V) = \frac{15 - x}{60}\]
4. Igualando as Probabilidades:
- Queremos que a probabilidade de encontrar ambos os sinais vermelhos seja \(\frac{1}{25}\):
\[P(V_1 \cap V_2) = \left(\frac{15 - x}{60}\right)^2 = \frac{1}{25}\]
5. Resolvendo a Equação:
- Igualando as duas expressões:
\[\left(\frac{15 - x}{60}\right)^2 = \frac{1}{25}\]
- Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
\[\frac{15 - x}{60} = \frac{1}{5}\]
- Multiplicando ambos os lados por 60:
\[15 - x = 12\]
- Resolvendo para \(x\):
\[x = 15 - 12 = 3\]
Portanto, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho é de 3 segundos.