Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado mediano 3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi representada por An.
Para n ≥ 2, o valor da diferença An – An–1, em centímetro quadrado, é igual a
- A
2n – 1
gabarito - B
2n + 1
- C
–2n + 1
- D
(n – 1)2
- E
n2 – 1
Resolução
Considerando que o valor do lado do quadrado área \(A_n\) é igual a \(n\), então o valor do lado do quadrado anterior é \(n-1\).
Em termos de área, temos:
\[A_n=n\cdot n=n^2\] \[A_{n-1}=\left(n-1\right)\cdot\left(n-1\right)=\left(n-1\right)^2\]
Calculando a diferença entre as áreas, temos:
\[n^2-\left(n-1\right)^2=\] \[n^2-n^2-2n-1=\] \[2n-1\]