Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 · log[–K . (t + 1) . (t – 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
- A
100,5
gabarito - B
108
- C
w 102,5/84
- D
102,5/99
- E
25 x 10-2
Resolução
Para determinar o maior valor possível do parâmetro \(K\) que atende à condição de que a pressão interna \(P\) não ultrapasse 10 atmosferas durante o funcionamento da máquina por 10 horas, começamos analisando a expressão da pressão interna:
O empresário planeja operar a máquina por 10 horas, então substituímos \(t = 10\) na expressão:
\[P = 4 \cdot \log[-K \cdot (10 + 1) \cdot (10 - 19)]\]
Simplificando, temos:
\[P = 4 \cdot \log[-K \cdot 11 \cdot (-9)] = 4 \cdot \log[99K]\]
A condição de que a pressão não ultrapasse 10 atmosferas nos leva à desigualdade:
\[4 \cdot \log[99K] \leq 10\]
Dividindo ambos os lados da desigualdade por 4, obtemos:
\[\log[99K] \leq 2.5\]
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial (base 10) em ambos os lados:
\[99K \leq 10^{2.5}\]
Calculando \(10^{2.5}\):
\[10^{2.5} = 10^{2} \cdot 10^{0.5} = 100 \cdot \sqrt{10} \approx 100 \cdot 3.162 = 316.2\]
Agora, isolamos \(K\):
\[K \leq \frac{10^{2.5}}{99}\]
Assim, o maior valor que \(K\) pode assumir, respeitando a condição estabelecida, é:
\[K = \frac{10^{2.5}}{99}\]
Essa expressão corresponde à alternativa correta, que é a letra A. Portanto, o maior valor que pode ser escolhido para \(K\) é \(10^{2.5}/99\).