No entorno de uma lagoa circular, cujo raio mede 1 km, há um uma ciclovia. Devido aos frequentes roubos de bicicleta, a prefeitura planeja alocar policiais em posições estratégicas para patrulhar essa ciclovia, de forma a torná-la totalmente protegida. Um ponto da ciclovia é considerado protegido se houver pelo menos um policial a, no máximo, 200 m de distância daquele ponto, posicionado sobre a ciclovia. A figura ilustra um ponto P sobre a ciclovia, que estará protegido se houver pelo menos um policial posicionado sobre a região de cor cinza escuro.
Desconsidere a largura da pista da ciclovia e utilize 3 como aproximação para π
Nessas condições, a quantidade mínima necessária de policiais a serem alocados ao longo dessa ciclovia para torná-la protegida é
- A
4.
- B
8.
- C
15.
gabarito - D
30.
- E
60.
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos determinar quantos policiais são necessários para cobrir toda a ciclovia ao redor da lagoa, de modo que cada ponto da ciclovia esteja a no máximo 200 metros de um policial.
1. Calcular o comprimento da ciclovia:
A ciclovia está ao redor de uma lagoa circular com raio de 1 km (ou 1000 metros). O comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula:
\(C = 2\pi r\)
Onde \(r\) é o raio da circunferência. Substituindo \(r = 1000\) metros e \(\pi \approx 3\), temos:
\(C = 2 \times 3 \times 1000 = 6000\) metros.
Portanto, o comprimento da ciclovia é de 6000 metros.
2. Cobertura de cada policial:
Cada policial pode cobrir uma distância de 200 metros para cada lado, ou seja, um total de 400 metros de ciclovia (200 metros para a esquerda e 200 metros para a direita).
3. Calcular o número de policiais necessários:
Para cobrir toda a extensão da ciclovia de 6000 metros, dividimos o comprimento total da ciclovia pela cobertura de cada policial:
\(\text{Número de policiais} = \frac{6000}{400} = 15\)
Portanto, são necessários 15 policiais para garantir que toda a ciclovia esteja protegida, com cada ponto da ciclovia estando a no máximo 200 metros de um policial.