Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão esta representado na figura.
A função \(h(t)=4+4sen\left(\frac{\beta t}{2}-\frac{\pi}{2}\right)\) definida para \(t\ge0\) descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.
O valor do parâmetro \(\beta\), que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de \(\text{4}\) segundos após o início do funcionamento (instante \(\text{t =0}\)), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de \(\text{6 cm.}\) Para os cálculos, utilize \(\text{3}\) como aproximação para \(\pi\).
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro \(\beta\), de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é
- A\[\text{1.}\]
- B\[\text{2.}\]
- C\[\text{4.}\]
- D\[\text{5.}\]gabarito
- E\[\text{8.}\]
Resolução
A função dada é \(h(t) = 4 + 4\sen\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right)\), e queremos que a altura \(h\) seja pelo menos 6 cm em menos de 4 segundos após o início do funcionamento. Isso significa que \(h(t) \geq 6\) para algum \(t < 4\).
A função seno oscila entre -1 e 1, então o valor máximo de \(4\sen\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right)\) é 4. Portanto, para que \(h(t)\) seja pelo menos 6, precisamos que \(4 + 4\sen\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right) \geq 6\), o que implica que \(\sen\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right) \geq \frac{1}{2}\).
O seno é igual a 1/2 em \(\frac{\pi}{6}\) e \(\frac{5\pi}{6}\) dentro de um ciclo completo de \(2\pi\). Como estamos usando \(3\) como aproximação para \(\pi\), queremos que \(\frac{\beta t}{2} - \frac{3}{2}\) seja igual a \(\frac{1}{2}\) ou \(\frac{5}{2}\) para algum \(t < 4\).
Resolvendo para \(\beta\), temos:
\(\frac{\beta t}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{\beta t}{2} = 2\)
\(\beta t = 4\)
Como \(t < 4\), o menor valor inteiro positivo para \(\beta\) que satisfaz essa condição é 4, pois se \(\beta\) fosse menor, \(t\) teria que ser maior que 4 para que o produto \(\beta t\) fosse igual a 4.
Portanto, o menor valor inteiro para \(\beta\) que garante uma boa potência para o motor é 4.