Segundo o princípio da independência dos movimentos, de Galileu, sempre que a velocidade resultante de um corpo puder ser decomposta em duas ou mais componentes perpendiculares entre si, cada um desses movimentos poderá ser analisado separadamente como se os outros não existissem. Esse princípio é muito útil para a simplificação de alguns problemas reais, em três dimensões.
Considere um avião que, ao decolar, é instruído pela torre a atingir, em 6 minutos, uma posição de 20 km a leste, 20 km a Norte e 1 km de altitude em relação ao ponto de decolagem, conforme a figura (fora de escala). No entanto, no instante da decolagem, começa a soprar um vento cujo vetor velocidade tem componentes 30 km/h para Leste, 20 km/h para Sul e 1 km/h de cima para baixo.
Durante a ação do vento, a velocidade \(\vec v\) que o piloto deve estabelecer em relação ao ar para que o avião chegue à posição esperada no tempo indicado tem as componentes
- A
230 km/h para Leste, 180 km/h para Sul e 9 km/h para baixo.
- B
230 km/h para Leste, 180 km/h para Norte e 9 km/h para cima.
- C
200km/h para Oeste, 200 km/h para Norte e10km/h para cima.
- D
170 km/h para Leste, 220 km/h para Norte e 11 km/h para cima.
gabarito - E
170km/h para Leste, 180km/h para Norte e 11 km/h para cima.
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos considerar o princípio da independência dos movimentos, que nos permite analisar separadamente as componentes do movimento do avião e do vento em cada direção (leste-oeste, norte-sul e vertical).
1. Análise do Movimento do Avião:
O avião deve atingir uma posição a 20 km a leste, 20 km ao norte e 1 km de altitude em 6 minutos. Vamos calcular as velocidades necessárias em cada direção para que o avião atinja essa posição no tempo determinado.
• Direção Leste-Oeste:
- O avião precisa se deslocar 20 km a leste em 6 minutos.
- Convertendo 6 minutos para horas: \(6 \text{ minutos} = \frac{6}{60} \text{ horas} = 0,1 \text{ horas}\).
- A velocidade necessária na direção leste é:
• Direção Norte-Sul:
- O avião precisa se deslocar 20 km ao norte em 6 minutos.
- A velocidade necessária na direção norte é:
\[v_{\text{norte}} = \frac{20 \text{ km}}{0,1 \text{ horas}} = 200 \text{ km/h}\]
• Direção Vertical:
- O avião precisa subir 1 km em 6 minutos.
- A velocidade necessária na direção vertical é:
\[v_{\text{cima}} = \frac{1 \text{ km}}{0,1 \text{ horas}} = 10 \text{ km/h}\]
2. Efeito do Vento:
O vento tem componentes de 30 km/h para leste, 20 km/h para sul e 1 km/h de cima para baixo. Precisamos ajustar as velocidades do avião para compensar o efeito do vento.
• Direção Leste-Oeste:
- O vento contribui com 30 km/h para leste. Para que o avião mantenha a velocidade resultante de 200 km/h para leste, a velocidade do avião em relação ao ar deve ser:
\[v_{\text{leste, avião}} = 200 \text{ km/h} - 30 \text{ km/h} = 170 \text{ km/h}\]
• Direção Norte-Sul:
- O vento contribui com 20 km/h para sul. Para que o avião mantenha a velocidade resultante de 200 km/h para norte, a velocidade do avião em relação ao ar deve ser:
\[v_{\text{norte, avião}} = 200 \text{ km/h} + 20 \text{ km/h} = 220 \text{ km/h}\]
• Direção Vertical:
- O vento contribui com 1 km/h de cima para baixo. Para que o avião mantenha a velocidade resultante de 10 km/h para cima, a velocidade do avião em relação ao ar deve ser:
\[v_{\text{cima, avião}} = 10 \text{ km/h} + 1 \text{ km/h} = 11 \text{ km/h}\]
Portanto, as componentes da velocidade que o piloto deve estabelecer em relação ao ar são 170 km/h para leste, 220 km/h para norte e 11 km/h para cima.