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#136MT · MatemáticaENEM - 2021 - 2° Dia (Prova Azul)
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ2 = φ + 1.
Assim como a potência φ2, as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência φ7, escrita na forma aφ + b (a e b são inteiros positivos), é
- A
5φ + 3
- B
7φ + 2
- C
9φ + 6
- D
11φ +7
- E
13φ + 8
gabarito
Resolução
Após análise, fica evidente a sequência ao método de Fibonacci, tal que:
\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\]
e
\[b_n=b_{n-1}+b_{n-2}.\]
Logo:
\[a_7=8+5=13\]
e
\[b_7=5+3=8\]
Portanto, \(\gamma^7=13\gamma+8\)
Assim, alternativa correta letra E.