Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por \(x \Delta y = x^2 + xy - y^2 \text{ e } x * y = xy + x.\)
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação \(\left(a\Delta b\right)*\left(b\Delta a\right)=0.\) Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada \(b=1.\)
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
- A\[\sqrt{5}\]
- B\[\sqrt{3}\]
- C\[\sqrt{1}\]
- D\[\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\]
- E\[\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]gabarito
Resolução
Utilizando as fórmulas de equivalência e operações apresentadas e considerando b=1. temos que:
\(a\Delta1=a^2+a-1\) e \(1\Delta a=1+a+a^2\)
Logo, \(\left(a\Delta1\right)\)*\(\left(1\Delta a\right)\) é igual:
\[\left(a^2+a-1\right)\left(1+a-a^2\right)+\left(a^2+a-1\right)\]
\[\left(a^2+a-1\right)\left(1+a-a^2+1\right)\]
Assim, por equivalência, temos que:
\[-\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a-2\right)=0\]
Logo, podemos fazer cada termo equivalido a zero por vez, tendo como solução das maiores raízes:
\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) e \(2\), fazendo a adição:
\[\frac{4}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\]
Alternativa correta letra E.