Um engenheiro é responsável por acompanhar o processo de controle de produção de uma fábrica de parafusos. Esse processo é considerado sob controle se o comprimento C dos parafusos satisfizer M - 3d ≤ C ≤ M + 3d sendo M a média dos comprimentos e d o desvio padrão dos comprimentos dos parafusos. Na última coleta de dados em que o processo foi considerado sob controle, foram obtidos M = 5,0 cm e d = 1,2 cm.
Com a chegada de uma nova máquina, a variabilidade dos comprimentos dos parafusos foi reduzida, e o processo foi considerado sob controle. A média dos comprimentos dos parafusos produzidos por essa nova máquina foi 5,6 cm, e nenhum desses parafusos teve comprimento menor que a medida mínima, nem maior que a medida máxima dos parafusos produzidos pela máquina anterior.
O desvio padrão, em centímetro, para o novo intervalo deverá ser, no máximo,
- A
0,60.
- B
1,00.
gabarito - C
1,12.
- D
1,2.
- E
1,80.
Resolução
Para determinar o desvio padrão máximo da nova máquina, precisamos analisar os intervalos de comprimento dos parafusos produzidos pelas duas máquinas.
Na primeira máquina, com uma média \(M = 5,0 \, \text{cm}\) e um desvio padrão \(d = 1,2 \, \text{cm}\), o intervalo de controle é dado por:
Substituindo os valores, temos:
\[5,0 - 3(1,2) \leq C \leq 5,0 + 3(1,2)\]
Calculando as extremidades:
\[5,0 - 3,6 \leq C \leq 5,0 + 3,6\]
\[1,4 \leq C \leq 8,6\]
Portanto, os comprimentos dos parafusos produzidos pela primeira máquina variavam entre \(1,4 \, \text{cm}\) e \(8,6 \, \text{cm}\).
Com a nova máquina, a média dos comprimentos dos parafusos aumentou para \(5,6 \, \text{cm}\). A condição dada é que nenhum dos novos parafusos deve ter comprimento menor que \(1,4 \, \text{cm}\) ou maior que \(8,6 \, \text{cm}\). Assim, o novo intervalo de controle deve ser:
\[1,4 \leq C \leq 8,6\]
Agora, para a nova média \(M = 5,6 \, \text{cm}\), queremos encontrar o desvio padrão \(d'\) que ainda mantém o intervalo de controle dentro dos limites anteriores. Assim, temos:
\[5,6 - 3d' \geq 1,4\]
\[5,6 + 3d' \leq 8,6\]
Vamos resolver as duas desigualdades separadamente.
1. Para a primeira desigualdade:
\[5,6 - 3d' \geq 1,4\]
\[-3d' \geq 1,4 - 5,6\]
\[-3d' \geq -4,2\]
\[d' \leq \frac{4,2}{3} \approx 1,4\]
2. Para a segunda desigualdade:
\[5,6 + 3d' \leq 8,6\]
\[3d' \leq 8,6 - 5,6\]
\[3d' \leq 3\]
\[d' \leq 1\]
Assim, a condição mais restritiva é \(d' \leq 1\). Portanto, o desvio padrão máximo para a nova máquina deve ser, no máximo, \(1 \, \text{cm}\).
Essa análise nos leva à conclusão de que a alternativa correta é a que indica um desvio padrão de \(1 \, \text{cm}\).