A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.
Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.
Uma mensagem, em um alfabeto de \(26\) letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.
A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por
- A\[\frac{1}{25} + \frac{1}{25} + \frac{1}{25}\]
- B\[\frac{24}{25}+\frac{23}{25}+\frac{1}{25}\]
- C\[\frac{1}{25} \times \frac{1}{24} \times \frac{1}{23}\]
- D\[\frac{24}{25} \times \frac{23}{25} \times \frac{1}{25}\]
- E\[\frac{24}{25} \times \frac{23}{24} \times \frac{1}{23}\]gabarito
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos entender como funciona a Cifra de César e calcular a probabilidade de descobrir o padrão de codificação na terceira tentativa.
A Cifra de César é um tipo de cifra de substituição onde cada letra do alfabeto é substituída por outra letra que está um número fixo de posições à frente no alfabeto. No caso descrito, o deslocamento é de 3 posições, mas a questão não especifica o deslocamento exato, apenas que é uma cifra de César com um alfabeto de 26 letras.
Para descobrir o padrão de codificação, precisamos tentar todas as possíveis substituições. Como o alfabeto tem 26 letras, existem 25 possíveis deslocamentos (excluindo o deslocamento zero, que não altera a mensagem).
A probabilidade de acertar o padrão na primeira tentativa é de \(\frac{1}{25}\). Se a primeira tentativa falhar, restam 24 possibilidades. A probabilidade de acertar na segunda tentativa, após uma falha, é de \(\frac{1}{24}\). Se a segunda tentativa também falhar, restam 23 possibilidades. A probabilidade de acertar na terceira tentativa, após duas falhas, é de \(\frac{1}{23}\).
Para calcular a probabilidade de acertar na terceira tentativa, precisamos considerar que as duas primeiras tentativas falharam. A probabilidade de falhar na primeira tentativa é \(\frac{24}{25}\), e a probabilidade de falhar na segunda tentativa é \(\frac{23}{24}\). Portanto, a probabilidade de acertar na terceira tentativa é o produto dessas probabilidades:
/left( /frac{24}{25} /right) /times /left( /frac{23}{24} /right) /times /left( /frac{1}{23} /right)
Simplificando, temos:
/frac{24}{25} /times /frac{23}{24} /times /frac{1}{23} = /frac{1}{25}
Portanto, a probabilidade de descobrir o padrão da Cifra de César na terceira tentativa é \(\frac{1}{25}\).