Um vendedor de balões para festas comprou um recipiente cheio de gás hélio, no formato de cilindro circular reto com 40 cm de diâmetro interno da base e 1 m de altura. Ele vai adquirir balões em uma loja que só os vende em pacotes fechados, cada um com 5 balões esféricos que, após enchidos com gás hélio, têm 30 cm de diâmetro.
O volume adquirido desse gás, em condições normais de pressão, é igual a 12 vezes o volume do recipiente comprado. No caso dos balões esféricos, o volume de gás hélio no seu interior é igual à capacidade volumétrica desses balões quando cheios. O vendedor pretende encher o maior número possível de balões com o gás comprado.
O número mínimo de pacotes de balões que o vendedor deve comprar de forma a utilizar todo o volume de gás hélio adquirido é
- A
11.
- B
12.
- C
22.
gabarito - D
24.
- E
25.
Resolução
Para resolver a questão, precisamos calcular o volume do recipiente que contém o gás hélio e o volume de um único balão esférico, para então determinar quantos pacotes de balões são necessários.
1. Cálculo do volume do cilindro:
O volume \(V\) de um cilindro é dado pela fórmula:
onde \(r\) é o raio da base e \(h\) é a altura. O diâmetro do cilindro é de 40 cm, o que nos dá um raio de:
\[r = \frac{40\, \text{cm}}{2} = 20\, \text{cm} = 0,2\, \text{m}\]
A altura do cilindro é de 1 m. Substituindo os valores na fórmula do volume:
\[V = \pi (0,2)^2 (1) = \pi (0,04) \approx 0,1256\, \text{m}^3\]
2. Volume total de gás hélio adquirido:
O problema informa que o volume de gás hélio adquirido é 12 vezes o volume do recipiente. Portanto:
\[V_{\text{total}} = 12 \times 0,1256 \approx 1,5072\, \text{m}^3\]
3. Cálculo do volume de um balão:
O volume \(V\) de uma esfera é dado por:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]
O diâmetro do balão é de 30 cm, o que resulta em um raio de:
\[r = \frac{30\, \text{cm}}{2} = 15\, \text{cm} = 0,15\, \text{m}\]
Substituindo na fórmula do volume da esfera:
\[V_{\text{balão}} = \frac{4}{3} \pi (0,15)^3 = \frac{4}{3} \pi (0,003375) \approx 0,0141372\, \text{m}^3\]
4. Volume total dos balões em um pacote:
Cada pacote contém 5 balões, então o volume total por pacote é:
\[V_{\text{pacote}} = 5 \times 0,0141372 \approx 0,070686\, \text{m}^3\]
5. Número de pacotes necessários:
Para descobrir quantos pacotes são necessários para utilizar todo o volume de gás hélio, dividimos o volume total de gás pelo volume de um pacote:
\[N_{\text{pacotes}} = \frac{V_{\text{total}}}{V_{\text{pacote}}} = \frac{1,5072}{0,070686} \approx 21,3\]
Como não podemos comprar uma fração de um pacote, arredondamos para cima, resultando em 22 pacotes.
6. Verificação da alternativa correta:
Considerando que o número de pacotes é 22, e que cada pacote contém 5 balões, o total de balões seria \(22 \times 5 = 110\). Assim, a alternativa correta que se aproxima do número mínimo de pacotes que o vendedor deve comprar para utilizar todo o volume de gás hélio é a letra C, que corresponde a 22 pacotes.
Portanto, a resposta correta é 22 pacotes, que se alinha com a alternativa C.