Um ciclista, durante seu treinamento, percorreu duas voltas completas na pista de automobilismo. Essa pista é formada por três trechos retilíneos e cinco trechos curvilíneos, que são arcos de circunferências, conforme ilustrado na figura.
Um dos arcos é subtendido por um ângulo reto, e a medida de seu raio é 90 m. A medida do raio dos demais arcos é 260 m, e as medidas de seus ângulos centrais estão indicadas na figura.
Utilize 3 como valor aproximado para π.
Qual foi a distância, em metro, percorrida pelo ciclista?
- A
7 620
- B
7 110
gabarito - C
5 540
- D
5 285
- E
4 900
Resolução
Para calcular a distância total percorrida pelo ciclista, precisamos somar os comprimentos dos trechos retilíneos e dos trechos curvilíneos.
Trechos Retilíneos
Os trechos retilíneos têm as seguintes medidas:
• 560 m
• 370 m
• 800 m
A soma dos trechos retilíneos é:
Trechos Curvilíneos
Os trechos curvilíneos são arcos de circunferências. Precisamos calcular o comprimento de cada arco.
1. Arco de 90° com raio de 90 m:
O comprimento de um arco é dado por:
\[C = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Onde \(\theta\) é o ângulo central e \(r\) é o raio.
Para \(\theta = 90^\circ\) e \(r = 90 \, \text{m}\):
\[C = \frac{90}{360} \times 2 \times 3 \times 90 = \frac{1}{4} \times 540 = 135 \, \text{m}\]
2. Arcos com raio de 260 m:
- Arco de 150°:
\[C = \frac{150}{360} \times 2 \times 3 \times 260 = \frac{5}{12} \times 1560 = 650 \, \text{m}\]
- Arco de 80°:
\[C = \frac{80}{360} \times 2 \times 3 \times 260 = \frac{2}{9} \times 1560 = 346.67 \, \text{m}\]
- Arco de 100°:
\[C = \frac{100}{360} \times 2 \times 3 \times 260 = \frac{5}{18} \times 1560 = 433.33 \, \text{m}\]
- Arco de 60°:
\[C = \frac{60}{360} \times 2 \times 3 \times 260 = \frac{1}{6} \times 1560 = 260 \, \text{m}\]
Soma dos Trechos Curvilíneos
Somando os comprimentos dos arcos:
\[135 + 650 + 346.67 + 433.33 + 260 = 1825 \, \text{m}\]
Distância Total Percorrida em uma Volta
A distância total de uma volta é a soma dos trechos retilíneos e curvilíneos:
\[1730 + 1825 = 3555 \, \text{m}\]
Distância Total Percorrida em Duas Voltas
O ciclista percorreu duas voltas, então:
\[2 \times 3555 = 7110 \, \text{m}\]
Portanto, a distância total percorrida pelo ciclista é 7110 metros.