Para determinar qual forma geométrica resulta na maior área, precisamos calcular a área de cada figura em função do perímetro \(k\).

1. Triângulo Equilátero:
- O perímetro de um triângulo equilátero é \(3a = k\), onde \(a\) é o comprimento do lado.
- Portanto, \(a = \frac{k}{3}\).
- A área de um triângulo equilátero é dada por \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\).
- Substituindo \(a\) na fórmula da área:

A = /frac{/sqrt{3}}{4} /left(/frac{k}{3}/right)^2 = /frac{/sqrt{3}}{4} /cdot /frac{k^2}{9} = /frac{k^2 /sqrt{3}}{36}.


2. Quadrado:
- O perímetro de um quadrado é \(4a = k\), onde \(a\) é o comprimento do lado.
- Portanto, \(a = \frac{k}{4}\).
- A área de um quadrado é dada por \(A = a^2\).
- Substituindo \(a\) na fórmula da área:

A = /left(/frac{k}{4}/right)^2 = /frac{k^2}{16}.


3. Hexágono Regular:
- O perímetro de um hexágono regular é \(6a = k\), onde \(a\) é o comprimento do lado.
- Portanto, \(a = \frac{k}{6}\).
- A área de um hexágono regular é dada por \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2\).
- Substituindo \(a\) na fórmula da área:

A = /frac{3/sqrt{3}}{2} /left(/frac{k}{6}/right)^2 = /frac{3/sqrt{3}}{2} /cdot /frac{k^2}{36} = /frac{k^2 /sqrt{3}}{24}.


Comparando as áreas obtidas:
• Triângulo Equilátero: \(\frac{k^2 \sqrt{3}}{36}\)
• Quadrado: \(\frac{k^2}{16}\)
• Hexágono Regular: \(\frac{k^2 \sqrt{3}}{24}\)

Para determinar qual área é maior, comparamos os coeficientes das fórmulas:
• \(\frac{\sqrt{3}}{36} \approx 0.0481\)
• \(\frac{1}{16} = 0.0625\)
• \(\frac{\sqrt{3}}{24} \approx 0.0722\)

Portanto, a maior área é obtida com o hexágono regular, pois \(\frac{k^2 \sqrt{3}}{24}\) é o maior valor entre as opções.