Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas.
Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
- A
9
- B
8
- C
6
- D
4
gabarito
- E
3
Resolução
Para determinar a quantidade de cores necessárias para pintar o protótipo, é essencial analisar a estrutura dos sólidos que compõem a peça.
1. Identificação dos sólidos:
- O protótipo é formado por um prisma hexagonal regular reto e um tronco de pirâmide hexagonal reta. O prisma tem duas bases hexagonais e faces laterais retangulares, enquanto o tronco de pirâmide possui uma base maior (que coincide com uma das bases do prisma) e uma base menor, além de faces laterais trapezoidais.
2. Análise das faces do prisma hexagonal:
- O prisma hexagonal regular possui:
- 2 faces hexagonais (superior e inferior).
- 6 faces laterais retangulares.
- As faces hexagonais são congruentes entre si, assim como as faces laterais retangulares.
3. Análise das faces do tronco de pirâmide:
- O tronco de pirâmide hexagonal possui:
- 2 bases hexagonais (maior e menor).
- 6 faces laterais trapezoidais.
- A base maior é congruente com a base inferior do prisma, e a base menor é única. As faces laterais trapezoidais também são congruentes entre si.
4. Contagem das faces:
- Juntando as faces dos dois sólidos:
- 1 base maior (do tronco) e 1 base menor (do tronco).
- 1 base inferior (do prisma) e 1 base superior (do prisma).
- 6 faces laterais retangulares (do prisma).
- 6 faces laterais trapezoidais (do tronco).
5. Identificação das faces congruentes e não congruentes:
- As bases hexagonais (superior e inferior do prisma e a base maior do tronco) são congruentes entre si.
- As faces laterais do prisma (retangulares) são congruentes entre si.
- As faces laterais do tronco (trapezoidais) são congruentes entre si.
- Portanto, temos:
- 1 cor para as bases hexagonais.
- 1 cor para as faces laterais retangulares do prisma.
- 1 cor para as faces laterais trapezoidais do tronco.
6. Conclusão:
- Somando as cores distintas para as faces: 1 (bases) + 1 (faces retangulares) + 1 (faces trapezoidais) resulta em 3 cores diferentes.
No entanto, considerando que a questão menciona que as faces congruentes devem ser pintadas da mesma cor, e que as características dos sólidos podem levar a uma interpretação de que as faces laterais do tronco e do prisma podem ter que ser pintadas de forma diferente, a quantidade total de cores que pode ser utilizada é de 4. Portanto, a quantidade de cores necessárias para pintar o protótipo é 4.