Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.
A área para o público será cercada com dois tipos de materiais:
• nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00;
• nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00.
A empresa dispõe de R$ 5 000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público.
A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é
- A
50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B.
- B
62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B.
- C
100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B.
- D
125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B.
gabarito - E
200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B.
Resolução
A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é: 125 m da tela tipo A e 500 m da tela tipo B.
Primeiramente, é importante lembrarmos que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões.
Como o retângulo possui dimensões x e y, então a área é igual a:
A = x.y.
Os lados paralelos ao palco são os de medidas x e o valor do metro é R$20,00.
O metro para os outros dois lados custa R$5,00.
Como a empresa dispõem de R$5000,00 para comprar essas telas, então:
5000 = 20x + 20x + 5y + 5y
5000 = 40x + 10y.
500 = 4x + y
y = 500 - 4x.
Substituindo o valor de y na área:
A = x(500 - 4x)
A = -4x² + 500x.
Queremos que a área seja máxima. Observe que a função acima é do segundo grau. Logo, devemos calcular o x do vértice:
xv = -b/2a
xv = -500/2.(-4)
xv = 62,5.
Ou seja, quando x = 62,5, a área é máxima.
O valor de y é:
y = 500 - 4.62,5
y = 250.
Portanto, a empresa comprará 62,5 + 62,5 = 125 metros da tela do tipo A e 250 + 250 = 500 metros da tela do tipo B.