Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo \(\text{30 cm,}\) são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de \(\text{10 cm}\) entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura.:
Utilize \(\text{1,7}\) como aproximação para 
.
O valor de R, em centímetros, é igual a
- A\[\text{64,0.}\]
- B\[\text{65,5.}\]
- C\[\text{74,0.}\]gabarito
- D\[\text{81,0.}\]
- E\[\text{91,0.}\]
Resolução
Construindo um triângulo equilátero com vértices nos centros da circunferências menores, temos que cada lado desse triângulos valerá 60 cm. Assim a altura h é:
\[h=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{60\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}cm\]
Analisando a figura construída, é possível notar que o centro da circunferência maior coincide com o ortocentro do triângulo. Assim, temos que a distância entre o centro da circunferência maior e o centro da circunferência menor é igual a \(\frac{2}{3}h\). Portanto, o raio maior R vale:
\[R=\frac{2}{3}\cdot\left(30\sqrt{3}\right)+30+10\] \[R=20\sqrt{3}+40\] \[R=20\cdot1,7+40\] \[R=74cm\]