Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância \(D\) da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo \( D = k + tg[p(T + m)],\) sendo os parâmetros \(k, p\) e \(m\) números reais, para \(T\) variando de \(0\) a \(4\) minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de \(D\).
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é
- A\[D = 2,5 + \operatorname{tg}\left[30 \left(T - \frac{5 - 2\pi}{2}\right)\right]\]
- B\[ D = 4 + \text{tg}\left[ 30 \left( T + \frac{5}{2} \right) \right]\]
- C\[D = 4 + \text{tg}\left[ 2,5 \left( T - \frac{5 + 2\pi}{2} \right) \right]\]
- D\[D = 30 + \text{tg}\left[ \frac{1}{2} (T - 5) \right] \\\]
- E\[D = 30 + \text{tg}\left[ \frac{1}{2} \left( T - \frac{5}{2} \right) \right]\]gabarito
Resolução
Para resolver essa questão, precisamos analisar a função dada e a figura apresentada. A função que descreve a relação entre a distância \(D\) e o tempo \(T\) é da forma:
\(D = k + \tan[p(T + m)]\)
onde \(k\), \(p\) e \(m\) são parâmetros reais.
Observando o gráfico, notamos que a função tangente possui assíntotas verticais, que ocorrem quando o argumento da tangente é um múltiplo ímpar de \(\frac{\pi}{2}\). No gráfico, as assíntotas estão em \(T = 2.5\) e \(T = 4\).
Para encontrar a expressão correta, precisamos determinar os valores de \(k\), \(p\), e \(m\) que fazem com que as assíntotas coincidam com os valores de \(T\) observados no gráfico.
1. Assíntotas da função tangente:
A função tangente tem assíntotas verticais quando o argumento é da forma:
\(p(T + m) = \frac{\pi}{2} + n\pi\)
onde \(n\) é um número inteiro.
2. Assíntotas no gráfico:
As assíntotas no gráfico estão em \(T = 2.5\) e \(T = 4\).
3. Determinação dos parâmetros:
- Para a assíntota em \(T = 2.5\):
\(p(2.5 + m) = \frac{\pi}{2}\)
- Para a assíntota em \(T = 4\):
\(p(4 + m) = \frac{3\pi}{2}\)
Resolvendo essas equações simultaneamente, podemos determinar os valores de \(p\) e \(m\).
4. Analisando as opções:
A opção correta deve satisfazer as condições das assíntotas e também o comportamento geral da função no gráfico. A opção correta é aquela que, ao substituir os valores de \(T\) nas assíntotas, faz com que o argumento da tangente seja um múltiplo ímpar de \(\frac{\pi}{2}\).
5. Verificação:
A opção correta é aquela que, ao substituir \(T = 2.5\) e \(T = 4\), resulta em assíntotas verticais, e o valor de \(D\) no gráfico coincide com o comportamento esperado da função.
Portanto, a expressão correta que representa a relação entre \(D\) e \(T\) é aquela que satisfaz todas essas condições, resultando na função que melhor se ajusta ao gráfico apresentado.